Teoria de nusos

La teoria de nusos és una part rellevant de la matemàtica. Definir què és un nus, com es quantifica la seva complexitat, algoritmes de resolució... tot plegat és ben atractiu per algú habituat a traslladar fets quotidians a equacions matemàtiques. Els mites i les faules referents als nusos són més aviat narracions enfocades a veure en els nusos la metàfora dels problemes. I desfer un nus és una metàfora de la resolució d'un problema. Resoldre un nus extremadament complicat és la metàfora de la resolució d'un problema extremadament complicat.


U. El mite més famós

El nus gordià és, sens dubte, el més famós. És un nus mític, de fet. I el mite té variants i detalls que per la seva banda també el compliquen: el mite del nus gordià és, en si mateix, un altre nus. Aquí esmentarem els fets més essencials, que són els únics que ens calen per a aquest Batiscaf.


El nus gordià era a Frígia, un territori de límits imprecisos i canviants però que es correspon amb l'actual centre-oest de Turquia. La història de Frigia és llarga: les primeres invasions (o emigracions) de pobles frigis són esmentades a la Ilíada, i els historiadors les situen cap al segon mil·leni a.C. En un temps indeterminat del seu passat mític, el país no tenia rei. I un oracle havia predit que l'assenyalat pels déus per ser proclamat rei seria el primer home que entrés a la capital (en aquell temps, Telmisus) duent una jova de bous. Va resultar que el primer a fer-ho fou un pobre pagès anomenat Gordias, que a més va tenir la sort que una àliga es va posar al damunt del seu carro per reposar, fet que fou interpretat com un senyal addicional del vist-i-plau dels déus. Gordias fou proclamat rei de Frígia, i la capital Telmisus esdevingué Gordium. Els bous a qui Gordias devia el tron a la fi van morir – òbviament –, però el carro fou conservat pietosament, com a instrument triat pels déus per designar aquell que començava una nova dinastia. El fill de Gordias, Midas (prou conegut per altres motius), va decidir que aquell carro es mereixia alguna cosa més, el va consagrar al déu Sabazios – el més important dels frigis –, i el va conservar dins el palau reial. Segons la llegenda fou ell, i no pas Gordias, qui va lligar el carro a un tronc ben gruixut, mitjançant un nus extremadament complicat.

A la fi Frígia fou incorporada a l'imperi persa, i n'esdevingué una província – una satrapia, és el terme precís. Quan el conqueridor Alexandre el Gran hi va arribar el palau dels reis frigis encara existia, el carro de Gordias també, i el nus havia esdevingut mític. Alexandre hi va passar tot l'hivern del 333 a.C., i seria força lògic que un moment o altre algú li parlés del nus que lligava el carro de Gordias. L'important és que, segons ens ha arribat, Alexandre va desfer el nus, davant l'estupefacció de tothom. Almenys, dels frigis, que potser – qui sap – lamentaven haver perdut un al·licient turístic.

Fins aquí els punts on hi ha acord. Objectivament la història dels nus (en relació a Alexandre) no és increïble. Si fos una llegenda, ens seria ben indiferent, cosa que en si mateixa és un punt a favor de creure'ns-la. En el que no hi ha acord, és en què va fer Alexandre exactament. Perquè les dues versions que tenim són ben oposades, tant en els fets com en la conseqüència conceptual.


DOS. La resolució del problema

La primera versió és que Alexandre va aconseguir desfer el nus gordià, i ho va fer de debò. Fent quelcom d'inesperat per als frigis però, en definitiva, ben correcte. És la versió actualment més acceptada pels estudiosos de l'antiguitat clàssica. Aquesta versió té dues variants. Una de les variants que ens ha arribat és que Alexandre va comprimir el nus. Puix que era un nus que unia un carro a un tir de cavalls, degut a aquesta tracció el nus devia quedar estirat. En quedar estirat, era impossible de veure els extrems de la corda, cosa que implicava que no hi havia manera de veure on començava el nus. En comprimir la corda, els extrems van quedar a la vista, i Alexandre va poder, amb paciència, descabdellar el nus. La segona variant és que un punt crucial del nus és que lligava una falca que unia dues peces de la barra central del carro de Gordias: Alexandre va tenir la idea de treure aquesta falca, i llavors el nus es va desfer tot sol, o gairebé.

La segona versió és la menys creguda pels historiadors, però a nivell popular és la més famosa: diu que Alexandre va provar de resoldre el nus, però en veure que no se'n sortia va treure l'espasa i el va tallar d'una estocada. Era la victòria de la força bruta per davant de la traça, la paciència i la genialitat. I és l'origen de l'expressió tallar el nus gordià, coneguda de gairebé tothom.

Alexandre el Gran, resolent el nus gordià a la manera 'alexandrina'. Un tema de molts quadres clàssics.

Entre les dues versions hi ha una diferència fonamental. D'acord amb la primera versió (qualsevol de les dues variants) Alexandre va resoldre el nus: d'una manera inesperada, nova, innovadora, fent quelcom que abans ningú no havia fet. D'acord amb la segona versió, Alexandre no va resoldre el nus. Tallar el nus gordià no és resoldre'l: és una solució en fals, una pseudo-solució que pot anar bé per fer quedar qui ho fa com un heroi als ulls dels altres, però res més. En moltes il·lustracions que he vist referents a aquesta faula (història?) el conqueridor és presentat rebent l'aclamació del seu exèrcit tot just després d'haver tallat el nus: la solució alexandrina encanta els afeccionats a resoldre els problemes pel broc gros, però òbviament escandalitza els que veien el nus com una prova per al futur governant, en el sentit de comprovar si el subjecte tenia l'enginy, la paciència, la traça d'endevinar quin era el problema i resoldre'l sense destruir res i sense ferir ningú. La solució alexandrina (la solució de l'espasa) era també una declaració de principis: l'espasa era la seva manera de resoldre els conflictes; la resta eren foteses. 

Una llegenda – hi ha acord a dir que és afegida a posteriori – deia que qui resolgués el nus gordià seria capaç de conquerir Àsia. Segons aquesta llegenda, a l'exèrcit va córrer la veu que Alexandre havia resolt el nus amb l'espasa, i tothom va entendre que el seu cabdill els duria a conquerir Àsia. I ho va fer, efectivament; si més no fins als límits de l'India actual si fa no fa. Però aquí ve la fi de la metàfora: de la mateixa manera que Alexandre va resoldre el nus només aparentment, no pas realment, així fou també la seva conquesta d'Àsia. Va destruir l'imperi persa; però en el fons, res més. Pretendre que un exèrcit de trenta o quaranta mil soldats podia ocupar un territori tan immens com l'actual Iran, Irak, l'Anatòlia, és absurd. A la fi, els seus mateixos soldats es van mig amotinar, van dir que ja en tenien prou de tanta marxa i tanta batalleta, i que volien tornar a casa. La retirada fou desastrosa; i quan a la fi Alexandre va tornar a terreny diguem-ne conegut (Mesopotàmia) hi va morir. De la mateixa manera que la seva solució del nus gordià fou irreal, la seva conquesta d'Àsia també ho va ser. A la fi només una part d'aquell imperi immens (concretament, les zones més estrictament mediterrànies) va esdevenir allò que anomenem el món hel·lenístic; els seus generals se'l van repartir, com és ben sabut. De bona part dels territoris conquerits no se'n va tornar a tenir més notícia. De fet, als territoris de l'actual Iran es va desenvolupar amb el temps l'imperi Part (origen del mot ‘Pèrsia', per cert), que fou durant segles l'enemic més dur dels regnes hel·lenístics i després de l'imperi romà. Tot això en un territori que Alexandre, teòricament, havia conquerit...


TRES. Per tant...

La moral d'aquesta història és que un problema complex no es resol a la manera alexandrina; almenys no es resol realment. Un problema complex pot admetre una solució simple (en la primera versió, Alexandre realment va resoldre el nus), una solució enginyosa i inesperada, sempre que sigui una solució real i veritable. Les solucions falses (en la segona versió, tallar el nus gordià) suposen no haver resolt el problema.

Quan el problema és senzillament un nus en una corda, tallar el nus gordià pot ser simplement poc estètic. Quan el problema és un problema real de política, societat, economia o cultura, tallar el nus gordià pot tenir conseqüències molt més greus. La temptació de molts polítics de resoldre els problemes tallant el nus gordià té a veure amb la necessitat de donar una imatge de fortalesa i decisió: la imatge d'Alexandre tallant el nus amb l'espasa és molt més atractiva i espectacular que no pas la imatge d'algú que, pacientment, s'entesta de debò a resoldre el nus.

Quan escrivia aquestes ratlles l'opinió pública arreu d'Europa, i sobretot – per raons òbvies – a la Gran Bretanya, s'escandalitzava davant les conclusions de la comissió encarregada d'investigar l'actuació de Tony Blair, ex-primer ministre del Regne Unit, durant la crisi d'Orient Mitjà que va desembocar en la invasió de l'Irak i el derrocament i mort de Saddam Hussein. Com tothom recordarà, fou l'empenta de George Bush (fill), l'aleshores president dels Estats Units, qui va gairebé imposar aquesta solució per acabar amb el problema. El paper dels seus aliats a Europa fou més estètic que altra cosa: l'Espanya de José María Aznar i el Portugal de Durâo Barroso es van declarar fans de Bush i li donaven la raó en tot. Però fou Tony Blair l'aliat més rellevant, perquè la Gran Bretanya era – és – un país rellevant a nivell mundial, i sobretot perquè el recolzament britànic incloïa la col·laboració militar: l'exèrcit britànic és un dels més professionals del món, i tenir-lo com a aliat en qualsevol aventura militar no és cap broma. Lògicament, es van buscar una bona excusa per a l'aventura militar. L'Irak de Saddam Hussein era – deien – un immens magatzem d'armes de destrucció massiva, sobretot armament químic, preparat per ser utilitzat contra els països veïns i desestabilitzar tota la regió. Els caps d'estat dels Estats Units, Gran Bretanya, Espanya i Portugal van abocar-se de ple a un allau de conferències de premsa on insistien que ells tenien molt bona informació i que ens ho havíem de creure. Però la immensa majoria dels països, almenys a Europa, no s'ho van creure. I l'opinió pública es mostrava quelcom més que escèptica. Recordo una conferència de premsa del general Colin Powell, un dels capd de l'exèrcit americà a l'anterior Guerra del Golf – també contra Saddam Hussein, el 1991 – on intentava de convèncer un auditori ple de periodistes de l'existència real d'un arsenal d'armes de destrucció massiva, mitjançant un seguit d'imatges de satèl·lit curosament empalmades, filmacions de suposats espies infiltrats, i tot l'etcètera que calgués. Recordo també l'escepticisme de bona part dels periodistes, que no s'estaven de comentar que una pel·lícula com aquella, raonablement coherent, s'hauria pogut muntar a qualsevol televisió tot empalmant imatges d'arxiu preses d'ací d'allà.

Tony Blair, animant els soldats britànics a resoldre el nus gordià de l'orient Mitjà

L'Orient Mitjà havia estat un polvorí des de feia dècades; i tenint en compte la importància geoestratègica de la zona, per raons òbvies – energètiques, sobretot –, era més que evident que la zona es mereixia tots els esforços que calgués per dur-hi una pacificació real. Però el problema de la zona no es reduïa a l'existència d'un tirà incòmode. Incloïa conflictes religiosos (sunnites versus xiites), rivalitats culturals profundes (àrabs versus iranians), rivalitats geoestratègiques (els àrabs del nord en sentit ampli, versus els àrabs del sud, saudís), i l'existència persistent del problema palestí, per al qual mai no s'ha vist enlloc una veritable voluntat de resolució. Tot plegat agreujat pel persistent i sistemàtic recolzament dels Estats Units a les polítiques més bel·licoses d'Israel, profundament ofensives per a tot el món àrab. Tot amanit amb rivalitats tribals inexplicables per a nosaltres, però que sorprenen tots els europeus que es troben en aquests països. Era – és – un veritable nus gordià, mereixedor d'esforços pacients i constants; esforços reals, no només discursos purament estètics.

Creure – o voler fer creure tothom, que no és ben bé el mateix – que Saddam Hussein era el problema, i que derrocant-lo s'acabava tot, era un punt de vista d'una barroeria extrema, impròpia de països amb serveis secrets prou professionals per avisar els seus governants de l'error que estaven a punt de cometre. Tant la CIA com l'MI16 van avisar que no hi havia cap evidència que el règim de Saddam disposés d'arsenals d'armes de destrucció massiva; i força militars dels aliats van avisar que un atac d'aquella mena no arreglaria res i agreujaria moltes coses. George Bush II, en la línia de molts governants, va considerar que les opinions dels seus experts eren collonades. Una victòria militar ho solucionava tot. Amén, lògicament, del fet que interessos petroliers donaven ple suport a una operació militar d'aquella magnitud.

La invasió de l'Irak i el derrocament i la mort posterior de Saddam Hussein són l'exemple més diàfan que conec – entre els exemples recents, vull dir – de solució alexandrina d'un problema molt complex. Tallar el nus gordià, en un mot. Avui vivim en una situació post-guerra que és el resultat final d'haver optat per aquesta solució alexandrina. L'autoanomenat Estat Islàmic probablement no existiria si no fos per la guerra contra l'Irak. I bé que no es pot descartar que hi hagués atemptats de signe islamista ça i llà, crec evident que no hi hauria el degoteig inacabable d'atemptats que, a dia d'avui, no fan sinó obrir camí a una pujada incontenible de la ultradreta. Als Estats Units George Bush II manté un perfil baix i es manté força amagat; per altra banda els americans són força reticents a demanar comptes als seus ex-presidents pels seus actes. Però les crítiques dures que avui rep Tony Blair a la Gran Bretanya, acusant-lo de saber perfectament què estava fent – és a dir, que era ben conscient que no prenia la decisió èticament correcta – són indici que els britànics tenen una altra manera de fer.

En el camp polític, tallar el nus gordià sovint s'associa a una actitud semblant a l'envestida d'un brau. Endavant les atxes, atac frontal, i dels desperfectes ja en parlarem després. Margaret Thatcher fou el paradigma d'aquesta actitud, i bona part dels problemes actuals de la Gran Bretanya són l'herència de la seva política. Abans d'ella l'independentisme escocès era anecdòtic, i la seva pujada és en bona part una reacció de rebuig a la Gran Bretanya que ella va crear. No puc treure'm del cap els titulars dels diaris britànics arran de la seva mort: alguns li dedicaven un record més o menys elegant, però altres, sobretot a les ciutats industrials d'Anglaterra i especialment a Escòcia, proclamaven que mai no la podrien perdonar. David Blunkett, que fou secretari d'estat de treball i pensions, ho va resumir:

‘Ella deia que no podia perdonar els líders del seu propi partit, per la seva caiguda. I jo haig de dir que jo no li puc perdonar tot el mal que va fer a Sheffield'

La majoria de les autoritats de les ciutats industrials de la Gran Bretanya haurien pogut dir el mateix. The Star va comentar que en aquestes ciutats ben poques llàgrimes hi hauria per plorar la seva mort: el record de la devastació causada per la Dama de Ferro hi era encara ben viu, malgrat els anys. Tot atribuint bona part dels mals patits pel país a les seves decisions, sovint imposades a crits, exhibint múscul i negant-se sistemàticament a la recerca de cap consens; cap diàleg amb aquells que veuen les coses de manera diferent. Cop d'espasa, i tallar el nus.


QUATRE. La (no) solució dels nusos

El pitjor que li pot passar a un problema és adquirir la fama d'insoluble. Perquè la conseqüència pot ser que un bon reguitzell d'estudiosos decideixin que no volen perdre el temps a trobar-ne la solució. I pot esdevenir quelcom semblant a una peça de museu.

En matemàtica, això va estar a punt de passar amb el teorema de Fermat, resolt finalment per Andrew Wiles. No va passar perquè (i) va quedar establert que aquest teorema era una conseqüència implícita de la hipòtesi de Taniyama-Shimura, (ii) per tant, allò que calia demostrar era la hipòtesi de Taniyama-Shimura, i el més important de tot, (iii) molta recerca matemàtica es basava en suposar que la hipòtesi de Taniyama-Shimura era certa: si resultava equivocada, tota aquesta recerca cauria com un castell de cartes. Per tant, demostrar la conjectura de Taniyama-Shimura (i, com a resultat colateral, el teorema de Fermat) era urgent per als matemàtics. Aquesta és la raó per la qual el teorema (= nus?) de Fermat mai no va ser deixat de banda: perquè no es podia deixar de banda, senzillament. I podria ser la raó per la qual abans d'Alexandre el nus Gordià no havia estat resolt: perquè resoldre'l era més una curiositat que altra cosa. Apart del fet que per resoldre'l calia anar fins al palau dels reis frigis, quelcom que no era a l'abast de tothom.

Andrew Wiles davant l'enunciat del teorema de Fermat. La demostració d'aquest teorema, un veritable nus gordià, va haver d'esperar tres-cents anys.

La insolubilitat d'un problema pot venir donada pel fet que hi hagi hagut intents anteriors de resoldre'l. Una estratègia de resolució pot ser mirar primerament qui ho ha intentat, com ho ha fet, i fins on ha arribat. I mirar d'aprofundir en aquest camí. Cosa que pot ser un suïcidi si el camí que altres han emprès és una via morta. Tornant al teorema de Fermat, cal esmentar que al llarg dels segles passats d'ençà que Fermat el va formular, un bon grapat de matemàtics es van abocar a demostrar-lo. Euler i Kammerer van ser els que més van contribuir a establir que la conjectura de Fermat era correcta. Però sempre amb demostracions parcials: per exemple, demostrant que el teorema era vàlid per n = 3, per n = 5, o per valors de n menor o igual a 100. Per a aquest Batiscaf allò que volem recalcar és que la demostració final d'Andrew Wiles no té res a veure amb el treball fet abans per altres matemàtics: Wiles va resoldre el problema per un camí totalment diferent. La seva solució no és un bon exemple de ‘nus gordià' perquè no és senzilla en absolut: és molt llarga i complexa, aprofita resultats matemàtics recents i és un bon resum de la matemàtica contemporània. Però es pot prendre com a exemple de solució del nus gordià en el sentit que Wiles va resoldre el nus tot seguint una via completament diferent de la d'altres matemàtics que ho havien intentat.


CINC. A l'espanyola

Hi ha una variant específicament espanyola pel que fa a la no-solució dels nusos gordians. Que és no solucionar-los. Deliberadament.

De la mateixa manera que per als frigis l'existència del nus gordià era gairebé un reclam turístic – per entendre'ns –, segons quins actors del drama poden estar interessats a deixar el nus sense resoldre. Una de les anècdotes més contades de Franco és que durant la primera dècada de la postguerra – la més terrible – tenia sempre damunt la taula tres carpetes: en una hi havia els expedients per resoldre, en una altra els expedients resolts, i en una tercera els expedients que el temps, ell sol, s'havia encarregat de resoldre. No cal dir que els primers anys de la postguerra els expedients eren, majoritàriament, sentències de mort que esperaven el seu vist-i-plau. I la tercera carpeta contenia els expedients de la gent que havia mort a la presó, després d'anys de ser-hi en condicions molt dures, i que d'aquesta manera li havien estalviat la molèstia d'haver d'escriure, amb llapis vermell, el seu ‘enterado' que significava que l'home havia de ser passat per les armes.

Fabià Estapé, en les seves memòries, explicava que una vegada va coincidir amb l'almirall Carrero Blanco a l'ascensor. L'almirall tot just havia sortit d'una reunió amb el Generalísimo, on finalment havia aconseguit que l'home donés al vist-i-plau a alguna disposició legal – de no massa rellevància històrica, en aquell cas. Carrero feia anys que coneixia Estapé, i dins l'ascensor es va relaxar prou per deixar anar un rampell de sinceritat:

‘Hay que ver lo que tarda en parir este hombre...'

Sovint s'ha dit que el PP és l'hereu del franquisme. Certament ho és en la mesura que una part molt important dels seus components – si més no, els que es troben ubicats als centres de poder – havien format part del règim franquista, o tenen parentiu sovint directe amb antics prohoms del franquisme. Però ho és en un aspecte més profund, el d'haver heretat la manera de no-resoldre els problemes que va caracteritzar el vell general. El franquisme fou expeditiu en la persecució policial dels seus adversaris polítics; però extremadament parsimoniós a l'hora d'enfrontar-se als problemes econòmics o socials del país. Un dels records més vius que tinc de la lectura de la biografia de Franco de Paul Preston són les escenes on els ministres li han de suplicar que prengui mesures urgents per estabilitzar la moneda, per aconseguir un canvi realista en la paritat dòlar-pesseta (que feia impossible el comerç exterior), per permetre la mobilitat de persones i mercaderies dins el territori estatal. Només quan aconseguien de fer entendre al vell general que la situació era veritablement desesperada – per la població, no pas per ell personalment – es decidia a signar d'una vegada el document que els ministres li duien preparat.

Al moment de redactar aquest Batiscaf, la situació política d'Espanya és un nus gordià. La repetició de les eleccions ha donat un resultat semblant a l'anterior (quatre grans partits, cap dels quals amb majoria absoluta, ni cap parella de partits que donés una majoria absoluta; gran dificultat d'establir pactes amb tres partits que donessin una majoria absoluta...etc). Espanya no és un país gaire donat a assajar coalicions de govern; més aviat es desitja una situació de majoria absoluta que doni al partit guanyador un poder gairebé omnímode. La situació insòlita d'haver de teixir consens amplis, pactes generosos, ha deixat la classe política al llindar d'un immobilisme que no sembla tenir solució. Hi ha, però, un fet essencial que defineix la situació: Mariano Rajoy, president del partit més votat – el PP, agradi o no –, no sembla tenir interès a resoldre el nus. Es deixa odiar, lloar, criticar. Però no fa passos seriosos cap a crear pactes amplis que desfacin el nus. Ha estat Albert Rivera – de Ciudadanos – qui ha fet els passos més importants per mirar d'establir un pacte PP-C's prou ampli per generar una majoria parlamentària prou àmplia per arribar, potser, a una investidura. I ho ha fet exigint al PP un seguit de coses, però renunciant a la que havia estat la seva màxima condició: la renúncia de Mariano Rajoy a presidir el futur govern. De moment, Rajoy diu que estudiaran les exigències de Ciudadanos, però que ja veurem, que no es pot dir res... Quan tanco aquest Batiscaf, la qüestió encara no està resolta.

Mariano Rajoy, hereu de Franco en el noble art de no fer res i deixar que altres li resolguin el nus gordià.

L'actitud de Rajoy és el tema, no pas quin serà el desenllaç final d'aquesta història. Rajoy no té cap interès a resoldre el nus gordià. Perquè un nus gordià pot ser molt útil. El darrer sondatge electoral del CIS ha revelat que si les eleccions es repetissin els resultats serien molt semblants als de les darreres eleccions. Alhora, totes les enquestes indiquen que els grans perjudicats per l'estagnació política són els dos nou vinguts a l'equació electoral, que van perdent pistonada a cada nou sondatge: Podemos i Ciudadanos. El fet essencial és que el PP va aguantant, fet que indica que la petrificació de la situació política no el perjudica, almenys no especialment. No hi ha govern escollit, però hi ha govern en funcions, presidit per Mariano Rajoy i amb bona part de l'executiva anterior. No poden aprovar uns nous pressupostos, però prorrogant els anteriors tot se soluciona. I mentrestant, van governant en el mateix sentit que durant tota la legislatura anterior – com els catalans podem comprovar fàcilment, per desgràcia. Amb l'afegit essencial que, tot adduïnt que es tracta d'un govern en funcions els seus membres es neguen rotundament a passar comptes dels seus actes davant el Congrés, una obligació gairebé sagrada a qualsevol país amb un règim parlamentari democràtic. Deixant de banda els petits inconvenients, de fet el PP ha seguit governant sense traves, i en l'actual situació es pot dir que tenen carta blanca. En aquestes condicions, és prou evident que no poden tenir massa interès a resoldre un nus gordià – el de l'actual situació política – que els resulta prou còmode.

No puc evitar que la imatge del vell general – no pas en l'aspecte físic, sinó en la seva actitud vital – em torni a la memòria cada vegada que Mariano Rajoy surt a la televisió. La darrera, en una conferència de premsa on l'home se'n va sortir sense respondre realment cap pregunta. Sap que de Macedònia li ha arribat un Albert Rivera que ja es preocuparà de desfer-li el nus gordià, a cop d'espasa si cal. Ell només n'ha de recollir els fruits tranquil·lament. Magistral, es miri per on es miri.


Pere Rovira





                                               

Share this: